Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Любое дифференциальное уравнение первого порядка равносильно уравнению вида Решая это уравнение относительно у, получаем одно или несколько уравнений вида. Например, из уравнения получаем: , а из уравнения получаем: . В этом параграфе мы будем, как правило, рассматривать уравнения, разрешенные относительно производной, т. Следующими по сложности являются дифференциальные уравнения вида. Поскольку в уравнении (3) левая часть содержит лишь переменную у и ее дифференциал, а правая — лишь переменную и ее дифференциал, то говорят, что в этом уравнении переменные х и у разделены. Решение уравнений с разделенными переменными основано на следующей теореме. Теорема. Если функция имеет первообразную Р, а функция q — первообразную Q, то общий интеграл дифференциального уравнения (3) имеет вид. По условию имеем равенства Из первого следует, что а из второго в силу инвариантности формы дифференциала первого порядка, что Поэтому уравнение (3) можно записать следующим образом. Здесь у является функцией от и потому слева и справа стоят дифференциалы функций от Но такие дифференциалы могут быть равны в том и только в том случае, когда функции отличаются лишь постоянным слагаемым, т. Чтобы найти частное решение такого уравнения, удовлетворяющее начальному условию надо вместо неопределенных. В самом деле, беря дифференциалы обеих частей в (5) и учитывая теорему о производной определенного интеграла по верхнему пределу, получаем уравнение Начальное же условие выполняется потому, что при обе части равенства (5) обращаются в нуль. Примеры решений дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными (и сводящихся к ним) Tehtab.ru - Инженерный справочник. Найдем общий интеграл уравнения. Решение. Запишем это уравнение в дифференциальной форме: . Так как. то общий интеграл имеет вид. С — произвольная постоянная. Записав С в виде представим общий интеграл следующим образом. Отсюда следует, что где любое действительное число. Так называют уравнение. Если , то функция является решением уравнения (6), поскольку для нее В области же, где уравнение (6) равносильно уравнению. Поэтому его общий интеграл имеет вид. Найти общее решение дифференциального уравнения. Это уравнение с разделяющимися переменными. Пример 1 Решить дифференциальное уравнение Решение:Имеем дифференциальное уравнение первого порядка, по теории его можно назвать уравнением с разделяющимися переменными или уравнением в дифференциалах. Решим уравнение. Решение. Корнями уравнения являются числа а и b. Поэтому имеем решения данного уравнения. В области, где , данное уравнение равносильно уравнению. Так как. то общий интеграл уравнения (9) имеет вид. Из этого равенства следует, что. Предоставляем читателю выразить из этого равенства у через х. Решая их относительно у, получаем уравнение. Дифференциальная форма уравнения (1. Если а — корень уравнения то является интегралом этого уравнения (поскольку из х = а следует, что dx = 0, причем по условию: . Точно так же, если b — корень уравнения , то интеграл того же уравнения. Решим уравнение. Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными, в котором Пусть и. Таким образом, в процессе решения приходится дважды решать уравнения с разделяющимися переменными. Ниже мы подробнее познакомимся с указанным понятием на примерах. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными. Общее решение (2) исходного уравнения нашего примера будет иметь вид: x2 + x3y - y3 = c. В некоторых случаях, когда левая часть исходного уравнения не является полным. Вычисляя интегралы, получаем выражение Q(y)=P(x)+C, описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными. В нем даны краткие теоретические сведения и примеры решения уравнений первого порядка различного типа, интегрируемых в квадратурах. Подставляя (1.14) в (1.12), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно. В данной статье постараюсь показать примеры решения некоторых видов таких уравнений. Дифференциальные уравнения I-го порядка с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на , получим уравнение с разделенными переменньши. Его общий интеграл найдем по формуле (1. Так как обращаются в нуль соответственно при то уравнение имеет еще четыре решения: , которые не содержатся в общем интеграле. Решим уравнение. Решение. На первый взгляд уравнение (1. Однако если воспользоваться равенством. Интегрируя обе части этого равенства и принимая во внимание, что. Отсюда находим, что. Записанное в такой форме решение зависит не только от постоянной С, принимающей действительные значения. Кроме того, имеем решения, получаемые из тригонометрического уравнения , а именно . Решим уравнение. Решение. Уравнение (1. 4) не является уравнением с разделяющимися переменными, но оно может быть приведено к таковому введением новой переменной (подстановкой). Положим , где — новая функция от Очевидно, и (1. Здесь уже переменные легко разделяются. Поэтому функции и также являются решениями уравнения (1. Таким образом, уравнение (1.
0 Comments
Leave a Reply. |
AuthorWrite something about yourself. No need to be fancy, just an overview. Archives
December 2016
Categories |